Rainer, Many thanks for your interest. Please feel free to distribute this reply to other newsgroups. I'm just doing the third edition of UPINT, so your message is of double interest. Anyone who has wind of this or other items which they would be willing to sell or donate to the Strens Collection, please let me know (Leon Bankoff's widow recently donated a couple of thousand items, some from a couple or more centuries ago, but you don't all have to be quite so generous). Addenda & corrigenda for UPINT also most welcome. R. On Mon, 24 Feb 2003, Rainer Rosenthal wrote:
Dear Richard Guy,
in your book "Unsolved Problems in Number Theory" you ask (in chapter D22 (Heron Tetrahedra)):
O. Schultz, Ueber Tetraeder mit rationalen Masszahlen der Kantenlaengen und des Volumens
Dickson appealed for a copy of this last. Did he ever get one? Would they be willing to donate it, or offer it for sale, to the Strens Collection?
Some days ago we discussed rational tetrahedra in the german newsgroup de.sci.mathematik and Hermann Kremer, who is well known for his searching-the-net did succeed in fining even an online reference. Please note that "Schultz" should be correctly spelled "Schulz" (without any t in the name).
I post a copy of this mail to sci.math, where there may be some additional echo ...
For those who don't know your book, I give its title here:
Richard K.Guy Unsolved Problems in Number Theory Volume 1 Springer Verlag 1994 ISBN 0-387-94289-0
With best regards (and thanks for your wonderful book) Rainer Rosenthal r.rosenthal@web.de
----- Original Message ----- From: Hermann Kremer <hermann.kremer@online.de> Newsgroups: de.rec.denksport,de.sci.mathematik Sent: Friday, February 21, 2003 2:18 AM Subject: Re: Ganzzahliges Tetraeder
Rainer Rosenthal schrieb in Nachricht ...
Hermann Kremer wrote
[ .. ]
O. Schultz, Ueber Tetraeder mit rationalen Masszahlen der Kantenlängen und des Volumen, Halle, 1914, 292 ff.
Dickson hat dringend um eine Kopie der letztgenannten Abhandlung gebeten. Ob er wohl je eine erhalten hat? Kennt jemand solch eine Kopie (z.B. Herr Kremer aus der deutschen Newsgroup de.sci.mathematik?) Würde dieser jemand sie spendieren oder sie gegen Geld für die Strens Sammlung
hergeben?
Ja, er kennt, und sogar ohne Geld im WWW ... Allerdings für einen Herrn Otto Schulz ohne t ... ist aber der gemeinte ;-))
Die Arbeit ist die Inaugural-Dissertation des Otto Schulz 1912 in Leipzig. Zuerst mal die Rezension aus dem JfM: ---------------------------------------------------- Electronic Research Archive for Mathematics Jahrbuch Database
JFM 45.0295.01 Schulz, O. Über Tetraeder mit rationalen Masszahlen der Kantenlängen und des Volumens. [D] Leipzig, 1912, 292 S. Published: 1914
Die Arbeit ist aus einer Anregung hervorgegangen, die der Verf. im mathematischen Seminar der Universität Berlin durch Herrn Geheimrat Schwarz empfangen hat. Einleitend werden die Hülfsmittel aus der Theorie der diophantischen Gleichungen besprochen, auch wird eine kurze Geschichte des Tetraederproblems gegeben. Nachdem die grundlegenden Untersuchungen wie die Formulierung des Problems geleistet sind, werden zunächst rationale Dreiecke und Vierecke, d. h. Tetraeder vom Volumen Null, behandelt. Es folgt die Theorie von speziellen rationalen Tetraedern, hierauf die der allgemeinen rationalen Tetraeder, wobei nun die Darlegung der Ankum'schen Beobachtung einen breiten Raum einnimmt, dass nämlich das Tetraederproblem durch geeignete Transformation der Volumenformel in eine diophantische Aufgabe zweiten Grades übergeführt werden kann, von der eine partikuläre Lösung ein Tetraeder vom Volumen Null ist. Ein Anhang gibt ein Literaturverzeichnis und zwei Tabellen, deren eine Tetrader mit kleinzahligen Kanten, deren andere Ecken mit einem rationalen v. Staudt'schen Eckensinus gibt.
[ Haentzschel, Prof. (Berlin) ]
Subject heading: Dritter Abschnitt. Niedere und höhere Arithmetik. Kapitel
Zahlentheorie. A. Allgemeines.
Jahrbuch Project: Copyright (c) 2003 European Mathematical Society
----------------------------------------------------
Die Buchform der Dissertation ist nachstehend rezensiert: ---------------------------------------------------- Electronic Research Archive for Mathematics Jahrbuch Database
JFM 45.0755.03 Schulz, O[tto]. Über Tetraeder mit rationalen Masszahlen .... [B] Halle, Gebauer-Scheretschke. XII + 292 S. $8^\circ$. Published: 1914
Die Arbeit behandelt eine von Herrn H[ermann] A[mandus] Schwarz oft gestellte Aufgabe: Tetraeder mit rationalen Masszahlen der Kantenlängen und des Volumens zu finden.
Eine allgemeine Lösung dieses Problems ist bis jetzt noch nicht gefunden worden.
Der Verf. gibt eine eingehende Darstellung der Geschichte dieses Problems und ein vollständiges Verzeichnis der betreffenden Literatur.
Im zweiten Abschnitt werden solche Tetraeder behandelt, deren Bestimmungsstücke einer oder mehreren Bedingungsgleichungen unterworfen sind. Darunter finden sich auch rationale Tetraeder mit verschwindendem Volumen, d. h. Vierecke mit rationalen Seiten und Diagonalen.
Von einigen Typen, z. B. Trapezen, Tetraedern mit einer Symmetrieebene oder -achse u. a. m., ist die allgemeine Lösung gegeben. Von andern Typen sind nur partikuläre Lösungen angeführt, von denen die rationalen Höhentetraeder zu erwähnen sind.
Im dritten Abschnitt ist das allgemeine rationale Tetraeder behandelt. Nach einer von Herrn Ankum gemachten Entdeckung kann man aus einem gegebenen rationalen Tetraeder durch Einführung eines Parameters unendlich viele neue rationale Lösungen erhalten. Denn behält man ein Dreieck bei und vergrössert oder verkleinert man die drei übrigen Kanten um eine Grösse $s$, so erscheint das Quadrat des Volumens $V$ als Funktion zweiten Grades von $s$ $$V^2 = As^2 + Bs+V_0^2$$, worin $V_0$ das Volumen, $A$ und $B$ Funktionen der Kanten des Ausgangstetraeders sind. Hieraus kann man leicht $s$ und $V$ rational darstellen. Wird eine andere Ecke bevorzugt, so erhält man eine zweite Schar rationaler Tetraeder, und so können beliebig viele Parameter sukzessive eingeführt werden. Der Verf. stellt einige interessante Untersuchungen über diese Methode an und zeigt z. B., dass zwei an verschiedenen Ecken nacheinander vorgenommene Transformationen nicht vertauschbar sind. Es werden auch noch andere Methoden zur sukzessiven Einführung von Parametern angegeben, darunter auch eine, bei der der Radius der Umkugel dem ursprünglichen Rationalitätsbereich erhalten bleibt.
Zum Schluss wird eine vollständige Lösung des Problems im Bereich der Grösse $\sqrt {-1}$ gegeben. Vgl. auch d. Bd. S. 295.
[ Neiss, ] Subject heading: Achter Abschnitt. Reine, elementare und synthetische Geometrie. Kapitel 3. Elementare Geometrie (Planimetrie, Trigonometrie, Stereometrie).
Jahrbuch Project: Copyright (c) 2003 European Mathematical Society ----------------------------------------------------
und die gibt es auch online: http://134.76.163.65/simple_search.html ... dann etwas Handarbeit: --> [Click]: Author Schulz --> [Click]: Submit --> [Click]: | 21-40 ---> 29
Das ganze Opus hat rund 300 Seiten und ist daher leider zu lang, um komplett als PDF-Datei heruntergeladen zu werden ...